"Теория множеств" Хаусдорфа принадлежит к тем, исчисляющимся единицами, классическим произведениям математической литературы, которые не только подводят итоги целому периоду в развитии данной дисциплины, но и намечают пути дальнейшего исследования. Когда говорят о „Теории множеств" Хаусдорфа, то, собственно, имеют в виду две книги: первое издание, вышедшее в 1914 г. под названием „Grundzflge der Mengenlehre", и второе издание, вышедшее в 1927 г. и озаглавленное просто „Mengenlehre ". Эти две книги настолько отличаются друг от друга по своему содержанию, что должны быть рассматриваемы как два произведения математической литературы, а не как два издания одной и той же книги. Наиболее существенными отличиями этих двух книг являются следующие: 1° теория топологических пространств, являющаяся основой изложения в первом издании и впервые систематически построенная Хаусдорфом, во втором издании представлена лишь одним параграфом: все изложение теории точечных множеств ве-
ведется во втором издании для метрических пространству 2° во втором издании отсутствует теория' меры и лебеговского интеграла, а также топология эвклидовой плоскости и n-мерного пространства; 3° во втором издании прибавлена — и при том в мастерском изложении — теория А-множеств Суслина [в настоящем переводе эти множества в соответствии с терминологией, принятой Хаусдорфом, называются по имени открывшего их „МА 3._Суслииа (род. в 1894 г., ум. в_,19,1?__г.) суслинскими множествами].
Причины, приведшие автора к отказу, во втором издании, от столь обширного материала, входившего в первое издание, ивложены им в предисловии ко второму изданию: оии в основном состоят в требовании сокращения объема, которое автору было предъявлено его издателем. Несомненно, что отказ от топологического построения теории точечных множеств, составлявшего одно из наиболее блестящих достижений перпервого издания книги Хаусдорфа, является большим ущербом: сам автор говорит в своем предисловии с явным сожалением о необходимости пойти на это.
Редакторы русского перевода решили восстановить этот ущерб, нанесенный книге соображениями внешнего характера: поддержанные в этом отношении ОНТИ, они решили вернуться к топологической точке зрения, создавшей по справедливости такую большую славу первому изданию книги. Таким образом мы сделали попытку соединить большие достоинства второго издания—достоинства, заключающиеся прежде всего в окончательной логической отделке и отшлифовке всего материала, с преимуществами первого издания. Однако невозможно было достичь поставленной цели, механически воспользовавшись текстом первого издания: как раз это первое издание было стимулом настолько мощного развития теории топологических пространств, что теория эта теперь выглядит совершенно не так, как выглядела она в 1914 г., когда появилось в свет первое издание книги Хаусдорфа. Переделывая таким образом главы второго издания, посвященные общей (топологической) теории множеств, мы должны были их привести к уровню современной теории топологических пространств. Соответствующее этому требованию изложение этой теории только что было сделано одним из вас в книге Alexandroff und Hopf, Topologie I (главы I и_П). Этим изложением (с некоторыми сокращениями) и естественно было воспользоваться. Трудную задачу согласования этого материала со всем остальным материалом книги Хаусдорфа, разнесения его по уже дайной схеме этой книги, слияния его с оставшимися главами Хаусдорфа в одно целое—взял на себя и, как нам кажется, превосходно разрешил Н. Б. Ведеиисов. Вся эта работа, далеко выходящая, конечно, за рамки обычного труда переводчика, проведена Н. Б. Веденисовым при нашем постоянном редакционном участии и, естественно, всецело под нашей и только нашей ответственностью.
Кроме того, в соответствии с новейшими исследованиями самого Хаусдорфа, А. Н. Колмогорова, Л. В. Канторовича и Е. М. Ливенсона, переработаны параграфы, относящиеся к операциям над множествами и их применениям. Нам кажется, что эта переработка сделана в духе общих устремлений книги Хаусдорфа.
Наконец, в виде особого приложения мы сочли целесообразным дать перевод статьи самого Хаусдорфа о линейных пространствах. В последний момент мы узнали, что Хаусдорф в третьем немецком издании также решил ввести главу, посвященную этому предмету. Таким образом, несмотря на то, что — как следует из сказанного — книга Хаусдорфа подверглась в наших руках значительной переработке, мы надеемся иа то, что остались в полной мере верны духу подлинника. Наша задача была — дать в руки советскому читателю книгу, во всем основном и существенном заменяющую и первое и второе издания книги Хаусдорфа, и сохранить при этом весь тот текст подлинника, который можно было сохранить, оставаясь на уровне сегодняшнего дия в теории множеств.
Если эта задача решена нами сколько-нибудь удовлетворительно, то читатель получит в руки действительно капитальное руководство по теории множеств, изучив которое, он окажется вполне подготовленным для чтения сколь угодно специальной литературы по этой дисциплине и для посильного участия в ее дальнейшей разработке.
анальный секс