Основной характеристикой любого конечного множества, конечно же, является число его элементов (например, множество вершин квадрата содержит в себе всего лишь четыре элемента). Если же во множествах А и В поровну элементов, к примеру, если А = {a1, ..., an}, а B = {b1, ... , bn}, то из элементов входящих в эти множества можно составить такие пары (a1, b1), ..., (an, bn), причем каждый из элементов из множества А, равно как и каждый из элементов из множества В, будут входить в одну, и только одну, пару. Говорят, что в этом случае между элементами множеств А и В установлено взаимно-однозначное соответствие. И наоборот, если между двумя конечными множествами А и В можно установить взаимно-однозначное соответствие, то в них поровну элементов.
Г.Кантор предложил аналогичным образом сравнивать между собой бесконечные множества. Говорят, что множества А и В имеют одинаковую мощность, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Сравнивая таким путем множества, составленные из чисел, Кантор показал, что существует взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел и множеством рациональных чисел, хотя множество натуральных чисел является лишь частью множества рациональных чисел. Таким образом, в теории бесконечных множеств теряет силу утверждение, что "часть меньше целого".
Множества, имеющие ту же мощность, что и множество натуральных чисел, называют счетными. Таким образом, множество рациональных чисел счетно. Важнейший пример несчетного множества - множество всех действительных чисел (или, что то же самое, множество точек на прямой линии). Так как прямая линия непрерывна, то такую несчетную мощность называют мощностью континуума (от латинского continuum - "неприрывный"). мощность континуума имеют множества точек квадрата, куба, плоскости или же всего пространства.
В течении долгих лет математики решали проблему: существует ли множество, мощность которого является промежуточной между счетной и мощностью континуума. В шестидесятых годах прошлого века американский математик П. Коэн и чешский математик П. Вопенка почти одновременно независимо друг от друга доказали, что как существование такого множества, так и отсутствие его не противоречат остальным аксиомам теории множеств (подобно тому, как принятие аксиомы о параллельных или отрицание этой аксиомы не противоречат остальным аксиомам геометрии).
|
