Из множеств А и В можно построить новые множества, применяя операции пересечения, объединения и вычитания. Пересечением множеств А и В называют их общую часть, т.е. множество элементов, принадлежащих как А, так и В. Это множество обозначают: А ∩
B. Например, пересечением двух геометрических фигур является их общая часть, пересечением множества ромбов с множеством прямоугольников - множество квадратов и т.д. Объединением множеств А и В называют множество, составленное из элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств. В различных вопросах классификации используется представление множеств в виде объединения попарно непересекающихся подмножеств. Например, множество многоугольников является объединением множества треугольников, четрырехугольников, ..., n-угольников. Если применять операции объединения и пересечения к подмножествам некоторого множества U, то снова получатся подмножества того же множества U. Эти операции обладают многими свойствами, похожими на свойства операций сложения и умножения чисел. Например, пересечение и объединение множеств обладают свойствами коммутативности и ассоциативности, пересечение дистрибутивно относительно объединения, т.е. для любых множеств А, В и С верно соотношение А ∩ (В U С) = (А ∩ B) U (A ∩ C) и т.д. Но в то же время у операций над множествами есть ряд свойств, не имеющих аналогов в операциях над числами. Например, для любого множества А верні равенства А ∩ А = А и А U А = А, верен второй закон дистрибутивности A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) и т.д. С помощью свойств операций над множествами можно преобразовывать выражения, содержащие множества, подобно тому как с помощью свойств операций над числами преобразовывают выражения в обычной алгебре. Возникающая таким путем алгебра называется булевой алгеброй, по имени английского математика и логика Дж. Буля (1815-1864), который занимался ею в связи с проблемами математической логики. Булевы алгебры находят многочисленные применения, в частности в теории электрических сетей. Операция вхождения или включения
множеств, т.е. понятие подмножества. Множество А включено в множество
В, если каждый элемент множества А входит также во множество В, т.е.
множество А составляет часть множества В. Тогда множество А называется
подмножеством множества В. Любое множество есть подмножество самого
себя, такое подмножество также как и пустое множество, называются
несобственными подмножествами в отличии от всех других подмножеств,
которые называются собственными подмножествами. Пустое множество является подмножеством любого множества.
