Множества, состоящие из конечного числа элементов, называются конечными, а остальные множества - бесконечными. Например, множество китов в океане конечно, а множество рациональных чисел бесконечно. Конечные множества могут быть заданы перечислением их элементов (например, множество учеников в данном классе задается их списком в классном журнале). Если множество А состоит из элементов a, b, c то пишут: A = {a, b, c}. Бесконечные множества нельзя задать перечнем их элементов. Их задают обычно, указывая свойство, которым обладают все элементы данного множества, но не обладают никакие элементы, не принадлежащие этому множеству. Такое свойство называют характеристическим для рассматриваемого множества. Если Р(х) - сокращенное обозначение предложения "элемент х обладает свойством Р", то множество всех элементов, имеющих свойство Р, обозначают так: {x | P(x)}. Например, запись {x | x2 - 3x + 2 = 0} означает множество корней уравнения x2 - 3x + 2 = 0, т.е. множество {1, 2}. Может случится, что не существует ни одного элемента, обладающего свойством Р (например, нет ни одного нечетного числа, которое делилось бы на 2). В этом случае во множестве {x | P(x)}нет ни одного элемента. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым. Его обозначают знаком Ø. Если элемент х принадлежит множеству А, то пишут: х є А. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными (совпадающими). Например, равны множество равноугольных треугольников, так как это один и те же треугольники: если в треугольнике все стороны равны, то равны и все его углы; обратно, из равенства всех трех углов треугольника вытекает равенство всех трех его сторон. Очевидно, что равны два конечных множества, отличающиеся друг от друга лишь порядком их элементов, например {a, b, c} = {c, a, b}. Всякий квадрат является прямоугольником. Говорят, что множество квадратов является частью множества прямоугольников, или, как говорят в математике, является подмножеством множества прямоугольников. Если множество А является подмножеством множества B, то пишут А с В.
Иногда появляется необходимость в сопоставлении друг с
другом элементов некоторых множеств, тогда попарное соответствие между
элементами двух множеств называют взаимнооднозначным соответсвием.
Общее число взаимнооднозначных соответствий для множеств каждое из которых
содержит n элементов равно n!. Если между множествами А и В установлено
взаимнооднозначное соответствие , тогда сами множества называют эквивалентными.
Взаимнооднозначное соответствие между конечными множествами А и В можно
установить тогда, когда число элементов множеств А и В одно и то же. Это
свойство называют свойством равнозначности.
