Мои файлы - Каталог файлов

Хаусдорф Ф. Теория множеств

"Теория множеств" Хаусдорфа принадлежит к тем, исчисляющимся единицами, классическим произведениям математической литературы, которые не только подводят итоги целому периоду в развитии данной дисциплины, но и намечают пути дальнейшего исследования. Когда говорят о „Теории множеств" Хаусдорфа, то, собственно, имеют в виду две книги: первое издание, вышедшее в 1914 г. под названием „Grundzflge der Mengenlehre", и второе издание, вышедшее в 1927 г. и озаглавленное просто „Mengenlehre ". Эти две книги настолько отличаются друг от друга по своему содержанию, что должны быть рассматриваемы как два произведения математической литературы, а не как два издания одной и той же книги. Наиболее существенными отличиями этих двух книг являются следующие: 1° теория топологических пространств, являющаяся основой изложения в первом издании и впервые систематически построенная Хаусдорфом, во втором издании представлена лишь одним параграфом: все изложение теории точечных множеств ве-
ведется во втором издании для метрических пространству 2° во втором издании отсутствует теория' меры и лебеговского интеграла, а также топология эвклидовой плоскости и n-мерного пространства; 3° во втором издании прибавлена — и при том в мастерском изложении — теория А-множеств Суслина [в настоящем переводе эти множества в соответствии с терминологией, принятой Хаусдорфом, называются по имени открывшего их „МА 3._Суслииа (род. в 1894 г., ум. в_,19,1?__г.) суслинскими множествами].

Ю.Е. Пензов Элементы математической логики и теории множеств

Аннотация к книге

Курс "Элементы математической логики и теории множеств" впервые был прочитан для студентов 1-го курса механико-математического факультета Саратовского университета в 1961 году профессором В. В. Вагнером. С тех пор он читается ежегодно с сохранением в основном первоначальной программы.

С 1963 года этот курс введён в учебные планы мехматов университетов. Настоящая книга является обработкой лекций, которые автор читал в Саратовском университете в 1962-66 гг. В § 1 вводятся основные:понятия теории множеств. В § 2 и § 3 излагаются элементы содержательного исчисления высказываний и предикатов. Содержательное исчисление предикатов представляет наибольшие трудности, этот раздел занимает в книге значительное место. Формальное исчисление высказываний и предикатов не затрагивается.

В § 4 и § 5 логика предикатов применяется для построения начал алгебры' подмножеств и теории бинарных отношений. В § 6 на основе теории бинарных отношений излагаются начальные сведения по теории отображений и преобразований множеств. Каждый параграф книги снабжен упражнениями. Часть из них содержит дополнительные теоретические сведения. В конце книги приведен краткий список литературы, по которой можно более подробно познакомиться с математической логикой и теорией множеств.

Выражаю глубокую благодарность профессору В.В. Вагнеру, постоянно следившему за подготовкой рукописи к изданию и сделавшему многочисленные ценные указания. Выражаю благодарность также доценту М. А. Спиваку и старшему преподавателю Л.Н. Либиху за ряд замечаний и советов. Автор.

ВВЕДЕНИЕ

Логикой называется наука о законах и формах мышления. Основоположником ее является древнегреческий ученый Аристотель (IV век до н. э.).

Математическая логика, назыраемая также теоретической или символической, есть часть общей логики, в которой законы мышления выражаются формулами аналогично тому, как в алгебре выражаются правила действий с числами.

Идея математической логики впервые была высказана немецким математиком и философом Лейбницем в XVII веке. Но систематическое ее развитие началось только с середины XIX века с опубликования английским математиком Дж. Булем работы "Математический анализ логики" (1847 г.).

Новый этап в развитии математической логики начался в 20-х годах нашего века, когда немецкий математик Д. Гильберт разработал теорию математического доказательства, теорию формального построения математических наук.

В настоящее время математическая логика имеет большое практическое значение, она широко применяется в вычислительной математике и в теории конечных автоматов. Понятие множества является одним из простейших, одним из первоначальных понятий математики. Оно не определяется, а только поясняется на примерах. Так можно говорить о множестве натуральных чисел, о множестве точек плоскости, множестве жителей данного города. Начала теории множеств были разработаны немецким математиком Г. Кантором в 70-х годах XIX века. Теория множеств и математическая логика составляют основу современной математики.